El propósito de este trabajo es estudiar el proceso de Poisson, un concepto matemático ampliamente utilizado en estadística que debemos a Simeon Denis Poisson y modela el número de eventos aleatorios “raros” que ocurren en determinadas situaciones a lo largo del tiempo. Nuestros principales objetivos son demostrar los resultados teóricos que caracterizan este tipo de procesos y desarrollar en profundidad algunas de sus aplicaciones más relevantes. Es importante señalar que los procesos de Poisson que consideramos son aquellos cuya intensidad es siempre constante, también conocidos como procesos de Poisson homogéneos. El trabajo se divide en tres capítulos. En el primero de ellos, se introducen una serie de conceptos preliminares, como la distribución de Poisson, la distribución exponencial y los estadísticos ordenados de la distribución uniforme. Estos son esenciales para comprender la definición general de un proceso de Poisson, así como otros resultados que obtendremos a lo largo de los siguientes capítulos.
El capítulo 2 constituye la base teórica de este trabajo, pues en él se da la definición de proceso de Poisson y se estudia su equivalencia con dos de sus caracterizaciones más recurrentes en la literatura. La primera consiste en construir el proceso a partir de un método de renovaciones, mientras que la segunda se basa en un tipo particular de proceso, cuya probabilidad se determina en función de criterios de convergencia. Finalmente, se analiza cómo puede obtenerse un proceso de Poisson a partir de otros procesos de Poisson según los llamados procedimientos de superposición y división.
Con el fin de reforzar la teoría aprendida desde un punto de vista práctico, en el tercer capítulo, se estudian tres ejemplos que modelizan situaciones cotidianas. En primer lugar, nos centramos en la paradoja del tiempo de espera (o del autobús). Este problema indica que la distribución del tiempo entre dos llegadas consecutivas aleatorias de autobuses a una determinada parada no se corresponde con la distribución del tiempo entre la llegada del autobús que un pasajero tomó y la del último autobús que perdió, suponiendo que el pasajero no comprueba el horario de llegadas y siempre va a la parada a la misma hora. Para ilustrar visualmente esta tesis, una vez que se calcula la distribución mencionada, comparamos la densidad obtenida con el histograma correspondiente a un conjunto de datos adecuadamente simulados. Además, la afirmación anterior nos permite determinar la expresión del tiempo de espera experimentado por el pasajero. A continuación, presentamos el modelo de Cramer-Lundberg, que construye, utilizando un proceso de Poisson compuesto, una variable aleatoria que mide la evolución de los ingresos de una compañía de seguros. Aparte de simular algunas de las trayectorias que reflejan el comportamiento de este modelo, profundizamos en una serie de resultados que permiten estimar la probabilidad de ruina de la compañía. Estos se basan en la existencia de un término de ajuste llamado coeficiente de Cramer-Lundberg y en el uso de martingalas